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带阻尼项的一维等熵可压欧拉方程组爆破问题
作
者：
刘平春
学
位
授
予
单
位：
摘
要：
在本文中,我们对流体力学中的偏微分方程的爆破解进行了研究。流体力学方程与其他的物理现象联立形成的方程组可用来描述特定流体在特殊条件下的动力学行为。我们的研究对象是欧拉方程组,这是经典的非线性双曲型偏微分方程组,也是无粘性流体动力学中重要的基本方程组之一。通过对欧拉方程组添加一些源项效应也可以作为现实物理现象的数学模型。欧拉方程组是一个特征值都是实函数的双曲守恒律方程组,具有有限传播速度和光滑初值爆破现象。由于非线性性,即使初值充分光滑,经典解往往不一定整体存在,而可能在有限时间内产生爆破。近些年,文献中对一维非线性双曲守恒律的数学理论进行研究并得到了许多重要成果,证明了方程组产生爆破现象。但已有结果并未给出爆破的精确描述。本文主要研究带阻尼项的一维等熵可压欧拉方程组的爆破问题,显式计算方程组的爆破解,并给出关于爆破过程的精确描述。利用理想气体定律,本文证明了线性阻尼项不能阻碍激波的形成。论证过程利用了原方程与一维的Burgers方程做差,对扰动量做连续性方法假设,并结合调制的自相似方程估计、向量场估计和高阶能量估计,最终构造出了一维欧拉方程组的大初值爆破解,并且得出线性阻尼项并不能阻碍激波形成的结论。该论证过程受到Buckmaster,Shkoller和Vicol对三维可压欧拉方程组构造的大初值爆破解的启发,并且基于稳定的一维自相似的Burgers方程曲线和调制方法,所构造的爆破解的爆破时间、爆破位置、爆破速率、爆破点的正则性以及渐进收敛性都有精确的描述。此外,该解在自相似变量下渐近收敛于无粘Burgers方程的稳定自相似解,并且在爆破点处具有H（?）lder C1/3正则性。
关
键
词：
可压缩欧拉方程; 有限时间爆破; 自相似变换; 连续性方法假设; 高阶能量估计
学
位
年
度：
2025
学
位
类
型：
硕士
学
科
专
业：
数学·应用数学
导
师：
王跃循
中
图
分
类
号：
O175.29[非线性偏微分方程];O35[流体力学]
学
科
分
类
号：
070101[基础数学];070104[应用数学];080103[流体力学];080704[流体机械及工程];080709[储能科学与工程]
D
O
I：
10.27204/d.cnki.glzhu.2025.000862
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